Tiebreaker Calculation
2006年6月8日コメント (3)東海Regionalsも近いので、ルールとは少し趣が異なるお話。
Regionalsのような、スイス戦のみでトップ○人抜け、というような
レギュレーションでは、勝ち進むことが最低条件だが、どうしても
同意による引き分け（ID）を考えてしまうときもあるだろう。
通常のシングル・エリミネーションで決勝を行うならまだ良い戦略だが、
スイス・ラウンドだけ、となると話は全く別になる。
さて、こんな状況を想定してみよう。
T氏は現在、96人参加の地区選手権に出場している。
スイス・ラウンドは7回戦であり、現在は6回戦を終了したところだ。
成績は5−1−0。抜けるためにはどうしてもあと1勝が必要である。
スタンディングが発表され、15点のラインには7名ほどが散らばっていた。
Opp％ の数字は、50.0000ときりの良い数字が並んでいた。
ペアリングを見ると、相手も15点の人。やはり、勝つしかない。
だが、勝っても抜けれるのだろうか？
さて、T氏というのは架空の人物だとしてお送りいたしますが、
この場合、T氏の Opp％ が最大いくつになり、最低でいくつになるだろうか？
実はこれ、計算で求められるのである。
まずは、Opp％こと、「オポネント・マッチ・ウィン・パーセンテージ」の定義を。
マッチ・ウィン・パーセンテージとは、そのプレイヤーの勝ちを3点、負けを0点、分けを1点と
したときに、その点数の和（＝マッチ・ポイント）を（ラウンド数x3）で割ったものである。
たとえば、全勝者のマッチ・ウィン・パーセンテージは1.00（＝100％）である。
-----------------------------
（以下、T氏が対戦したプレイヤーは全くドロップしなかったと仮定する。）
さて、T氏の Opp％ は6回戦終了時で 50.0000％ であった。
これより、T氏が対戦してきたプレイヤーのマッチ・ポイントをM1，M2... ，M6とすると、
50.0000 (％) = (M1/18 + M2/18 + .... + M6/18) / 6 ・・・a)
で計算されていることになる。
また、7回戦終了時のT氏のOpp％は、以下の式で計算される。
Opp％ = (M1’/21 + M2’/21 + .... + M6’/21 + M7’/21) / 7 ・・・b)
7回戦終了時に、M1， M2，... M6のマッチ・ポイントはそれぞれが勝つ（＋3）か、負ける（＋0）
か、分ける（＋1）のいずれかなので、これらの総和は＋0〜＋18までの間で揺れる。
ということは、以下の式が成り立つ。
(M1+M2+...+M6) ≦ (M1’+M2’+...+M6’) ≦ (M1+M2+...+M6) + 18 ・・・c)
a)式より、(M1+M2+...+M6)の値は出せる。
b)式のM7’というのは、7回戦の対戦相手のマッチ・ポイントなのだから、容易に算出できる。
例の状況だと、T氏が勝った場合、M7= 15 である。
c)式をb)式に代入して計算すると、
46.9388 ≦ Opp％ ≦ 59.1837
となる。
----------------------------------
もちろん、ドロップしている人間がいるとその人間のマッチ・ポイントが変わらない。ので、結局は
「その人が該当ラウンドで負けた」のと同じ扱いになる。
「該当ラウンドで負けた」扱いにはならないが、値が増えることはない。
また、マッチ・ウィン・パーセンテージは0.33 (=33.3333％) 以下にはならないので、
過去の対戦相手が勝ったとしても、Opp％を計算するときには何も変わらない場合もありうる。
なので、実際にこれほどの幅をもってOpp％が変動することはあまりない。
仮に成績が一歩届かなかったとしても、一度はスタンディングを見て、
上位陣の予想をしてみてはいかがだろうか。
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そんなところで。
(2006/06/09)文章を一部修正しました。
Regionalsのような、スイス戦のみでトップ○人抜け、というような
レギュレーションでは、勝ち進むことが最低条件だが、どうしても
同意による引き分け（ID）を考えてしまうときもあるだろう。
通常のシングル・エリミネーションで決勝を行うならまだ良い戦略だが、
スイス・ラウンドだけ、となると話は全く別になる。
さて、こんな状況を想定してみよう。
T氏は現在、96人参加の地区選手権に出場している。
スイス・ラウンドは7回戦であり、現在は6回戦を終了したところだ。
成績は5−1−0。抜けるためにはどうしてもあと1勝が必要である。
スタンディングが発表され、15点のラインには7名ほどが散らばっていた。
Opp％ の数字は、50.0000ときりの良い数字が並んでいた。
ペアリングを見ると、相手も15点の人。やはり、勝つしかない。
だが、勝っても抜けれるのだろうか？
さて、T氏というのは架空の人物だとしてお送りいたしますが、
この場合、T氏の Opp％ が最大いくつになり、最低でいくつになるだろうか？
実はこれ、計算で求められるのである。
まずは、Opp％こと、「オポネント・マッチ・ウィン・パーセンテージ」の定義を。
オポネント・マッチ・ウィン・パーセンテージ：
あるプレイヤーのオポネント・マッチ・ウィン・パーセンテージとは、
そのプレイヤーが対戦した相手のマッチ・ウィン・パーセンテージの平均である
（不戦勝のラウンドは除く）。
マッチ・ウィン・パーセンテージとは、そのプレイヤーの勝ちを3点、負けを0点、分けを1点と
したときに、その点数の和（＝マッチ・ポイント）を（ラウンド数x3）で割ったものである。
たとえば、全勝者のマッチ・ウィン・パーセンテージは1.00（＝100％）である。
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（以下、T氏が対戦したプレイヤーは全くドロップしなかったと仮定する。）
さて、T氏の Opp％ は6回戦終了時で 50.0000％ であった。
これより、T氏が対戦してきたプレイヤーのマッチ・ポイントをM1，M2... ，M6とすると、
50.0000 (％) = (M1/18 + M2/18 + .... + M6/18) / 6 ・・・a)
で計算されていることになる。
また、7回戦終了時のT氏のOpp％は、以下の式で計算される。
Opp％ = (M1’/21 + M2’/21 + .... + M6’/21 + M7’/21) / 7 ・・・b)
7回戦終了時に、M1， M2，... M6のマッチ・ポイントはそれぞれが勝つ（＋3）か、負ける（＋0）
か、分ける（＋1）のいずれかなので、これらの総和は＋0〜＋18までの間で揺れる。
ということは、以下の式が成り立つ。
(M1+M2+...+M6) ≦ (M1’+M2’+...+M6’) ≦ (M1+M2+...+M6) + 18 ・・・c)
a)式より、(M1+M2+...+M6)の値は出せる。
b)式のM7’というのは、7回戦の対戦相手のマッチ・ポイントなのだから、容易に算出できる。
例の状況だと、T氏が勝った場合、M7= 15 である。
c)式をb)式に代入して計算すると、
46.9388 ≦ Opp％ ≦ 59.1837
となる。
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もちろん、ドロップしている人間がいるとその人間のマッチ・ポイントが変わらない。
「その人が該当ラウンドで負けた」のと同じ扱いになる。
「該当ラウンドで負けた」扱いにはならないが、値が増えることはない。
また、マッチ・ウィン・パーセンテージは0.33 (=33.3333％) 以下にはならないので、
過去の対戦相手が勝ったとしても、Opp％を計算するときには何も変わらない場合もありうる。
なので、実際にこれほどの幅をもってOpp％が変動することはあまりない。
仮に成績が一歩届かなかったとしても、一度はスタンディングを見て、
上位陣の予想をしてみてはいかがだろうか。
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そんなところで。
(2006/06/09)文章を一部修正しました。
コメント
この部分ですが、チョット違うようです。
たとえばスイス式7回戦の大会で5回戦終了時に2勝3敗でドロップしたプレイヤーのマッチ・ウィン・パーセンテージは
6÷21=28.57％ではなく、（実際にはこの場合33.33％になる）
6÷15=40.00％になるようです。
ソースはMJMJ内「タイブレーカーの解説」のプレイヤーDの例。
実際にDCIR内での実装がどうなっているかまでは調べませんでしたが、
たしかそのようになっていたと記憶しています。（数年前の記憶なので信憑性は低いですが）
たしかにドロップしている人間のマッチ・ウィン・パーセンテージは全く変化しないので、「そのラウンドで負けた」扱いにはなりませんね。
表現を変えておきます。ご指摘ありがとうございました。
スコアシートで手計算するときは簡略化のために
「対戦相手のマッチポイントの合計(最低値＝ラウンド数)」を使いますから。